Question

10．甲、乙兩袋中均裝有三張除所標(biāo)數(shù)值外完全相同的卡片，甲袋中的三張卡片上所標(biāo)數(shù)值分別為0、-1、3，乙袋中的三張卡片上所標(biāo)數(shù)值分別為-5、2、7，各任取一張卡片，并將它們的數(shù)字分別記為m、n．
（1）請(qǐng)你用樹形圖或列表法列出所有可能的結(jié)果；
（2）現(xiàn)制定這樣一個(gè)游戲規(guī)則：若選出的m、n能使得方程x²+mx+n=0有實(shí)根，則稱甲勝；否則稱乙勝．請(qǐng)問這樣的游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)你用概率知識(shí)解釋．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)樹狀圖即可求得所有等可能的結(jié)果；
（2）利用一元二次方程根的判別式，即可判定各種情況下根的情況，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙獲勝的概率，比較概率大小，即可確定這樣的游戲規(guī)是否公平．

解答 解：（1）畫樹狀圖得：
∵（m，n）的可能結(jié)果有（0，-5）、（0，7）、（0，2）、（-1，-5）、（-1，7）、（-1，2）、（3，-5）、（3，2）及（3，7），
∴（m，n）取值結(jié)果共有9種；      

（2）∵（m，n）的可能結(jié)果有（0，-5）、（0，7）、（0，2）、（-1，-5）、（-1，7）、（-1，2）、（3，-5）、
（3，2）及（3，7），
∴當(dāng)m=0，n=-5時(shí)，△=b²-4ac=20＞0，此時(shí)x²+mx+n=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)m=0，n=7時(shí)，△=b²-4ac=-28＜0，此時(shí)x²+mx+n=0沒有實(shí)數(shù)根，
當(dāng)m=0，n=2時(shí)，△=b²-4ac=-8＜0，此時(shí)x²+mx+n=0沒有實(shí)數(shù)根，
當(dāng)m=-1，n=-5時(shí)，△=b²-4ac=21＞0，此時(shí)x²+mx+n=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)m=-1，n=7時(shí)，△=b²-4ac=-27＜0，此時(shí)x²+mx+n=0沒有實(shí)數(shù)根，
當(dāng)m=-1，n=2時(shí)，△=b²-4ac=-7＜0，此時(shí)x²+mx+n=0沒有實(shí)數(shù)根，
當(dāng)m=3，n=-5時(shí)，△=b²-4ac=29＞0，此時(shí)x²+mx+n=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)m=3，n=7時(shí)，△=b²-4ac=-19＜0，此時(shí)x²+mx+n=0沒有實(shí)數(shù)根，
當(dāng)m=3，n=2時(shí)，△=b²-4ac=1＞0，此時(shí)x²+mx+n=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴P（甲獲勝）=P（△≥0）=$\frac{4}{9}$，P（乙獲勝）=1-$\frac{4}{9}$=$\frac{5}{9}$，
∴P（甲獲勝）＜P（乙獲勝），
∴這樣的游戲規(guī)則對(duì)乙有利，不公平．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．