Question

6．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c（c＞0）與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且OB=OC=3，頂點為M．
（1）求出二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）點P為線段MB上的一個動點，過點P作x軸的垂線PD，垂足為D．若OD=m，△PCD的面積為S，
①求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的范圍；
②求S的最大值；
③探索線段MB上是否存在點P，使得△PCD為直角三角形？如果存在，求出P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可根據(jù)OB、OC的長得出B、C兩點的坐標，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）①求出P點的坐標，據(jù)此可根據(jù)三角形的面積計算方法求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；
②利用配方法求出二次函數(shù)最值即可；
③先根據(jù)拋物線的解析式求出M的坐標，進而可得出直線BM的解析式，以及P點縱坐標，即可得出符合條件的P點的坐標．

解答 解：（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-9+3b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）①∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4）
設(shè)直線MB的解析式為y=kx+n，
則有 $\left\{\begin{array}{l}{4=k+n}\\{0=3k+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直線MB的解析式為y=-2x+6
∵PD⊥x軸，OD=m，
∴點P的坐標為（m，-2m+6）
S_三角形PCD=$\frac{1}{2}$×（-2m+6）•m=-m²+3m（1≤m＜3）；

②∵S_三角形PCD=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴S的最大值為$\frac{9}{4}$；

③∵若∠PDC是直角，則點C在x軸上，由函數(shù)圖象可知點C在y軸的正半軸上，
∴∠PDC≠90°，
在△PCD中，當∠DPC=90°時，
當CP∥AB時，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD=OC=3，
∴P點縱坐標為：3，代入y=-2x+6，
∴x=$\frac{3}{2}$，此時P（$\frac{3}{2}$，3）．
∴線段BM上存在點P（ $\frac{3}{2}$，3）使△PCD為直角三角形．
當∠P′CD′=90°時，△COD′∽△D′CP′，
此時CD′²=CO•P′D′，
即9+m²=3（-2m+6），
∴m²+6m-9=0，
解得：m=-3±3$\sqrt{2}$，
∵1≤m＜3，
∴m=3（$\sqrt{2}$-1），
∴P′（3$\sqrt{2}$-3，12-6$\sqrt{2}$）
綜上所述：P點坐標為：（$\frac{3}{2}$，3），（3$\sqrt{2}$-3，12-6$\sqrt{2}$）．

點評 本題主要考查二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點、等腰三角形的判定等知識，正確利用直角三角形的性質(zhì)分類討論得出是解題關(guān)鍵．