Question

11．我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”．如圖1，點A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2．
（1）請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）將圖中“蛋圓”整體向上平移，并使得拋物線的頂點與點（1，-2）重合，從而形成一個“阿拉伯人”的卡通形象，求這個“阿拉伯人”絡(luò)緦部分（圖2中陰影部分）的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知A（-1，0），B（3，0），然后設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）（a≠0），把D點坐標代入解析式，求出a的值即可；結(jié)合圖形寫出自變量x的取值范圍；
（2）首先求出拋物線y=x²-2x-3的頂點坐標，設(shè)拋物線的頂點坐標為P，將拋物線平移后，點A的對應(yīng)點為A′，點P的對應(yīng)點為P′，連接A′P′和AP，則所求陰影部分的面積為平行四邊形A′APP′的面積的2倍．

解答 解：（1）根據(jù)題意可得：A（-1，0），B（3，0）；     
則設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）（a≠0），
∵點D（0，-3）在拋物線上，
∴a（0+1）（0-3）=-3，
解得：a=1．
∴y=x²-2x-3，
自變量x的取值范圍：-1≤x≤3；
（2）由（1）可求得拋物線y=x²-2x-3的頂點坐標為（1，-4），
由此，可知拋物線需要向上平移2個單位．
設(shè)拋物線的頂點坐標為P，將拋物線平移后，點A的對應(yīng)點為A′，點P的對應(yīng)點為P′，連接A′P′和AP，
則所求陰影部分的面積為平行四邊形A′APP′的面積的2倍．
因為AM=2，AA′=2，所以，平行四邊形A′APP′的面積等于4，
所以，陰影部分的面積為8．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，此題以半圓與拋物線合成的封閉圖形“蛋圓”為背景，考查一次函數(shù)、二次函數(shù)有關(guān)性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法以及平移的知識，此題難度不大．