Question

4．如圖，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，分別延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，AB至點(diǎn)F，使得AE=2，且∠ECF=135°，若設(shè)AB=x，BF=y，試求出y與x之間的兩數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)求出∠CAE=∠CBF=135°，求出∠ECA+∠BCF=45°，∠E+∠ACE=45°，推出∠E=∠BCF，即可推出兩三角形相似；根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和銳角三角函數(shù)定義求出AC和BC長(zhǎng)，根據(jù)相似得出比例式，代入即可求出答案．

解答 證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CAE=180°-45°=135°，
同理∠CBF=135°，
∴∠CAE=∠CBF，
∵∠ECF=135°，∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠BCF=45°，
∵∠ECA+∠E=∠CAB=45°，
∴∠E=∠BCF，
∵∠CAE=∠CBF，
∴△ECA∽△CFB；
∵AB=x，∠CAB=45°，∠ACB=90°，AC=BC，
∴sin45°=$\frac{CB}{x}$，
∴CB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=AC，
∵由（1）知△ECA∽△CFB，
∴$\frac{AE}{CB}$=$\frac{AC}{BF}$，
∴$\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}x}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{y}$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²，
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=$\frac{1}{4}$x²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．