Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，3）（其中a＞4），射線OA與反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$的圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)B、C分別在函數(shù)y=$\frac{12}{x}$的圖象上，且AB∥x軸，AC∥y軸；
（1）當(dāng)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為6，求直線AO的表達(dá)式；
（2）聯(lián)結(jié)BO，當(dāng)AB=BO時，求點(diǎn)A坐標(biāo)；
（3）聯(lián)結(jié)BP、CP，試猜想：$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值是否隨a的變化而變化？如果不變，求出$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值；如果變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量的值，可得函數(shù)值，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)值，可得自變量的值，根據(jù)勾股定理，可得OB長，根據(jù)AB=OB，可得A點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）聯(lián)立函數(shù)解析式，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得B、C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)x=6時，y=2，∴P（6，2），
設(shè)直線AO的解析式為y=kx，
代入P（6，2）得k=$\frac{1}{3}$，
∴直線AO的解析式為y=$\frac{1}{3}$x；
（2）由AB∥x軸，得B點(diǎn)橫坐標(biāo)為4．
當(dāng)y=3時，x=4，
∴B（4，3）．
OB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵AB=OB，
∴5=a-4，即a=9，
∴A（9，3）；
（3）直線AO的解析式為y=$\frac{3}{a}$x，聯(lián)立y=$\frac{12}{x}$，得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{a}x}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{a}}\\{y=\frac{6\sqrt{a}}{a}}\end{array}\right.$．
∴P（2$\sqrt{a}$，$\frac{6\sqrt{a}}{a}$），
作PM⊥AB，PN⊥AC．
當(dāng)x=a時，y=$\frac{12}{a}$，即C（a，$\frac{12}{a}$），當(dāng)y=3時，x=4，即B（4，3）．
AC=3-$\frac{12}{a}$，PN=a-2$\sqrt{a}$，AB=a-4，PM=3-$\frac{6\sqrt{a}}{a}$，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$（a-4）（3-$\frac{6\sqrt{a}}{a}$），S_△ACP=$\frac{1}{2}$（a-2$\sqrt{a}$）（3-$\frac{12}{a}$），
∴$\frac{{S}_{ABP}}{{S}_{△ACP}}$=$\frac{3a-12-6\sqrt{a}+\frac{24\sqrt{a}}{a}}{3a-6\sqrt{a}-12+\frac{24\sqrt{a}}{a}}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用平行x軸直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等得出B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用函數(shù)值與自變量的關(guān)系得出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩線段相等得出A點(diǎn)坐標(biāo)；（3）利用解方程組得出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系得出B、C點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式得出答案．