Question

2．在△ABC中，AC=5$\sqrt{3}$，點(diǎn)D在三角形內(nèi)部，連接AD、BD、CD，sin∠DCB=$\frac{1}{2}$，cos∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BD=7$\sqrt{3}$，∠ABD=∠ACD，則線段AD的長度為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延長CD交AB于E，在BD上截取BF=CA=5$\sqrt{3}$，連接AF，交DE于O，由sin∠DCB=$\frac{1}{2}$、cos∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$知∠DCB=∠ABC=30°，繼而可得BE=CE、∠BEC=120°、∠AEC=60°，再證△BEF≌△CEA得EF=EA，結(jié)合∠FEC=∠AEC=60°知EO垂直且平分AF，從而得出AD=FD=BD-BF．

解答 解：如圖，延長CD交AB于E，在BD上截取BF=CA=5$\sqrt{3}$，連接AF，交DE于O，

∵sin∠DCB=$\frac{1}{2}$，cos∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠DCB=∠ABC=30°，
∴BE=CE，∠BEC=120°，∠AEC=60°，
在△BEF和△CEA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{∠EBF=∠ECA}\\{BF=CA}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CEA，
∴∠BEF=∠CEA=$\frac{1}{2}$∠BEC=60°，EF=EA，
∴∠FEC=∠BEC-∠BEF=60°，
在等腰△AEF中，∵∠FEC=∠AEC=60°，
∴EO垂直且平分AF，
∴AD=FD=BD-BF=7$\sqrt{3}$-5$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．