Question

14．如圖，已知A，B，C均在圓O上，且OA⊥OC，AB=1，BC=$\sqrt{2}$，則OABC的面積為$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 連接OB，過點B作BH⊥AO于點H，作BI⊥OC于點I，如圖所示，推出四邊形OHBI是矩形，設(shè)OH=BI=a．BH=OI=b，OA=OC=R，根據(jù)勾股定理得到（R-a）²+b²=1   ①，（R-b）²+a²=2    ②，a²+b²=R²      ③，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：連接OB，過點B作BH⊥AO于點H，作BI⊥OC于點I，如圖所示，
∵OA⊥OC，
∴四邊形OHBI是矩形，
設(shè)OH=BI=a．BH=OI=b，OA=OC=R，
∴（R-a）²+b²=1   ①，
（R-b）²+a²=2    ②，
a²+b²=R²      ③，
由①、③得，2Ra=2R²-1，
∴a=R-$\frac{1}{2R}$  ④，
由②、③得，Rb=R²-1，
∴b=R-$\frac{1}{R}$  ⑤，
將④、⑤代入③得，R²+$\frac{5}{4{R}^{2}}$-3=0，∴4R⁴-12R²+5=0，解得R²=$\frac{5}{2}$，
將R²=$\frac{5}{2}$分別代入2Ra=2R²-1，Rb=R²-1得，Ra=2，Rb=$\frac{3}{2}$，
∴四邊形OABC的面積=$\frac{1}{2}$Ra+$\frac{1}{2}$Rb=$\frac{7}{4}$．
故答案為：$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查了垂徑定理，矩形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．