Question

14．如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)是CD邊的中點(diǎn)，E是BC邊上一點(diǎn)，且AF平分∠DAE．
（1）若AD=4，BE=3，求EF的長(zhǎng)；
（2）求證：AE=EC+CD．

Answer 1

分析 （1）由條件可知∠C=90°，CF=2，CE=1，根據(jù)勾股定理就可以求出EF的值．
（2）作FG⊥AE于G，由AF平分∠DAE可以得出AD=AG，DF=GF，∠AGF=90°，通過(guò)證明△FGE≌△FCE，可以得出GE=CE，進(jìn)而可以得出結(jié)論AE=EC+CD．

解答 （1）解：在正方形ABCD中，DC=BC=AD=4，∠C=∠D=90°，
∵F是CD邊中點(diǎn)，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=2，
CE=BC-BE=1，
在Rt△EFC中，由勾股定理得EF²=EC²+CF²，
EF=$\sqrt{5}$．

（2）證明：過(guò)點(diǎn)F作垂線(xiàn)FG垂直AE與點(diǎn)G，∠FGA=90°，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠GAF，
在△ADF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FGA=90°}\\{∠DAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△AGF（AAS），
∴AG=AD=DC，GF=DF，
∴GF=CF，
在Rt△FGE和Rt△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{GF=CF}\\{EF=EF}\end{array}\right.$
∴△FGE≌△FCE（HL），
∴EG=EC
∴AE=GE+AE=EC+CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．線(xiàn)段中點(diǎn)的定義．書(shū)寫(xiě)全等三角形的時(shí)候?qū)��?yīng)頂點(diǎn)必須寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上．