Question

12．如圖，I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長(zhǎng)線與△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，連接BI、CI、BD、DC．下列說法中正確的有（　�。�
①∠CAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度一定能與∠DAB重合；
②I到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；③∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC；
④線段DI是線段DE與DA的比例中項(xiàng)；⑤點(diǎn)D是△BIC的外心．

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①根據(jù)I是內(nèi)心，即角平分線的交點(diǎn)，則AI平分∠BAC，所以∠CAD=∠DAB，由此得出：∠CAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度一定能與∠DAB重合；
②I是內(nèi)心，到三邊的距離相等；
③先根據(jù)角平分線定義得：∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACI=$\frac{1}{2}$∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和得：∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，所以$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，則∠ABI+∠ACI=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，最后利用外角定理可以表示∠BIC的度數(shù)=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC；
④證明△ADC∽△CDE，得DC²=DE•AD，再證明DC=DI，所以說法正確；
⑤根據(jù)等角對(duì)等邊證明DB=DC，由④得：DC=DI，得DB=DC=DI，則點(diǎn)D是△BIC的外心．

解答 解：①∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB，
∴∠CAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度一定能與∠DAB重合；
所以此選項(xiàng)說法正確；
②∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴I是△ABC三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，
∴I到△ABC三邊的距離相等，
所以此選項(xiàng)說法不正確；
③∵I是內(nèi)心，
∴BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACI=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠BIE=∠ABI+∠BAI，∠EIC=∠DAC+∠ACI，
∴∠BIC=∠BIE+∠EIC=∠ABI+∠BAI+∠DAC+∠ACI，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ABI+∠ACI=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BIC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC+∠BAC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
所以此選項(xiàng)說法正確；
④∵∠DCB=∠BAD，∠BAD=∠DAC，
∴∠DCB=∠DAC，
∵∠ADC=∠ADC，
∴△ADC∽△CDE，
∴$\frac{DC}{DE}=\frac{AD}{DC}$，
∴DC²=DE•AD，
∵∠DIC=∠DAC+∠ACI，∠DCI=∠ICB+∠DCB，
∵IC平分∠ACB，
∴∠ACI=∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DC=DI，
∴DI²=DE•AD，
∴線段DI是線段DE與DA的比例中項(xiàng)；
所以此選項(xiàng)說法正確；
⑤∵∠BAD=∠DAC，∠BAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC，
由④得：DC=DI，
∴DB=DC=DI，
∴點(diǎn)D是△BIC的外心；
所以此選項(xiàng)說法正確；
所以說法正確的有：①③④⑤；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)心、外心、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、比例線段等，應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)較多，首先要明確內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，三角形內(nèi)切圓的圓心，它到三角形三邊的距離相等；外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，三角形外接圓的圓心，反之，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)就是三角形的外心，做好本題要熟練掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)和定理．