Question

13．如圖，已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{2x}$和一次函數(shù)y=2x-1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過M（a，b），N（a+1，b+k）兩點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求△OAB的面積；
（3）利用（2）的結果，請問：在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標都求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把（a，b）、（a+1，b+k）兩點代入一次函數(shù)解析式可得k，易得解析式；
（2）解方程組求得A，B的坐標，即可得到結論；
（3）利用分類討論的思想，當AO=PO時，易得OP=$\sqrt{2}$，得坐標；當AO=AP時，OP=2，易得P點坐標；當PO=AP時，PO=1，易得坐標．

解答 解：（1）把（a，b）、（a+1，b+k）兩點代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=2x-1可得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=2a-1}\\{b+k=2（a+1）-1}\end{array}\right.$，
解得：k=2．
故反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{1}{x}$；

（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴A（1，1），（-$\frac{1}{2}$，-2），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}×$1×1=$\frac{3}{2}$；

（3）當AO=PO時
∵點A坐標是（1，1），
∴AO=$\sqrt{2}$，
∴PO=$\sqrt{2}$，
∴P點的坐標為（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0）；
當AO=AP時，
∴OP=2，
∴點P的坐標為（2，0）；
當PO=AP時，PO=1，
∴點P的坐標為（1，0）．
綜上所述：點P坐標為：（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），（1，0），（2，0）．

點評 本題主要考查了待定系數(shù)法求解析式以及求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，結合圖象，分類討論是解答此題的關鍵．