Question

12．如圖，直線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x上有點A₁，A₂，A₃，…A_n+1，且OA₁=1，A₁A₂=2，A₂A₃=4，A_nA_n+1=2ⁿ，分別過點A₁，A₂，A₃，…A_n+1作直線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x的垂線，交y軸于點B₁，B₂，B₃，…B_n+1，依次連接A₁B₂，A₂B₃，A₃B₄，…A_nB_n+1，得到△A₁B₁B₂，△A₂B₂B₃，△A₃B₃B₄，…，△A_nB_nB_n+1，則△A_nB_nB_n+1的面積為（2^2n-1-2^n-1）$\sqrt{3}$．（用含正整數(shù)n的式子表示）

Answer 1

分析 由直線OA_n的解析式可得出∠A_nOB_n=60°，結(jié)合A_nA_n+1=2ⁿ可求出A_nB_n的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△A_nB_nB_n+1的面積．

解答 解：∵直線OA_n的解析式y(tǒng)=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，
∴∠A_nOB_n=60°．
∵OA₁=1，A₁A₂=2，A₂A₃=4，A_nA_n+1=2ⁿ，
∴A₁B₁=$\sqrt{3}$，A₂B₂=3$\sqrt{3}$，A₃B₃=7$\sqrt{3}$．
設(shè)S=1+2+4+…+2^n-1，則2S=2+4+8+…+2ⁿ，
∴S=2S-S=（2+4+8+…+2ⁿ）-（1+2+4+…+2^n-1）=2ⁿ-1，
∴A_nB_n=（2ⁿ-1）$\sqrt{3}$．
∴${S}_{△{A}_{n}{B}_{n}{B}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$A_nB_n•A_nA_n+1=$\frac{1}{2}$×（2ⁿ-1）$\sqrt{3}$×2ⁿ=（2^2n-1-2^n-1）$\sqrt{3}$．
故答案為：（2^2n-1-2^n-1）$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、三角形的面積、解直角三角形以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，根據(jù)邊的變化找出變化規(guī)律“A_nB_n=（2ⁿ-1）$\sqrt{3}$”是解題的關(guān)鍵．