Question

如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)C、D在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，頂點(diǎn)A，B分別在y軸的正半軸上，x軸的正半軸上，且AB=2AD=2

5

，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：作CE⊥y軸于點(diǎn)E，DF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)四邊形ABCD是矩形得出BC=AD，根據(jù)相似三角形的判定定理得出△OAB∽△EBC∽△FDA，故∠EBC=∠FDA，∠BCE=∠DAF，在△EBC與△FAD中，由ASA定理得出△OAB≌△FAD，設(shè)OB=y，則OA=x，根據(jù)AB=2AD可得AF=

1

2

y，BE=

1

2

x，再由勾股定理得出關(guān)于xy的方程組，求出x，y的值即可．

解答： 解：作CE⊥y軸于點(diǎn)E，DF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD，
∵∠ABO+∠OAB=90°，∠ABO+∠CBE=90°，
∴∠OAB=∠CBE，
∵∠AEB=∠AOB=90°，
∴△OAB∽△EBC．
同理可得，△OAB∽△FDA，
∴△OAB∽△EBC∽△FDA，
∴∠EBC=∠FDA，∠BCE=∠DAF，
在△EBC與△FAD中，

∠EBC=∠FDA BC=AD ∠BCE=∠DAF

，
∴△OAB≌△FAD（ASA），
設(shè)OB=y，則OA=x，
∵AB=2AD，
∴AF=

1

2

y，BE=

1

2

x，
∴

x2+y2=20 ( 1 2 x+y)• 1 2 y=(x+ 1 2 y)• 1 2 x

，
解得x=y=

10

，
∴k=（

1

2

x+y）•

1

2

y=

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出相似三角形，再由反比例函數(shù)的性質(zhì)及勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．