Question

18．【問(wèn)題背景】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，某教學(xué)小組繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．
【初步思考】小組成員先將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類探究：可按“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行．
【深入探究】
第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)：
如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，可知：△ABC與△DEF一定全等，依據(jù)的判定方法是HL．
第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)：
在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，試判斷△ABC與△DEF是否全等．
小組成員作了如下推理，請(qǐng)你接著完成證明：
證明：如圖②，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作DH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H．
∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角．
∴180°-∠B=180°-∠E，
即∠CBG=∠FEH．
在△CBG和△FEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠FEH}\\{∠G=∠H=90°}\\{BC=EF}\end{array}\right.$
∴△CBG≌△FEH（AAS）．
∴CG=FH 
第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)：
在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，小明在△ABC中（如圖③）以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)D，假設(shè)E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC符號(hào)已知條件，但是△AEF與△ABC一定不全等：

綜上探究，該小明的結(jié)論是：有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等．
【拓展延伸】：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若∠B滿足∠B≥∠A條件時(shí)，就可以使△ABC≌△DEF（請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；
（3）以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；
（4）根據(jù)三種情況可得結(jié)論，∠B不小于∠A即可．

解答 解：（1）△ABC與△DEF一定全等，依據(jù)的判定方法是HL；

（2）證明：如圖，

過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作DH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H，
∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，
∴180°-∠B=180°-∠E，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠FEH}\\{∠G=∠H}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{CG=FH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠B=∠E}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）小明的結(jié)論是：有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等；

（4）若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF．
如圖，

過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作DH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H，
∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，
∴180°-∠B=180°-∠E，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠FEH}\\{∠G=∠H}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{CG=FH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠B=∠E}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能求出Rt△ABD≌Rt△ACD是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等