Question

7．如圖，已知拋物線y=a₁x²+c經(jīng)過點B₁（1，$\frac{1}{3}$），B₂（2，$\frac{7}{12}$）．在該拋物線上取點B₃（3，y₃），B4（4，y₄）…B_n（n，y_n）在x軸上依次取點A₁，A₂，…，An，使△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃…分別是以∠B₁，∠B₂，…，∠Bn為頂角的等腰三角形，設A₁的橫坐標為t（0＜t＜1）．則
（1）該拋物線的表式y(tǒng)=$\frac{1}{12}$x²+$\frac{1}{4}$；
（2）S${\;}_{△{A}_{100}{B}_{100}{C}_{101}}$=$\frac{10003}{12}$t；（用t的代數(shù)式表示）
（3）在這些等腰三角形中若有直角三角形，t=$\frac{2}{3}$或$\frac{7}{12}$．

Answer 1

分析 （1）把點B₁（1，$\frac{1}{3}$），B₂（2，$\frac{7}{12}$）代入拋物線解析式得到關于a、c的二元一次方程組，解方程組求出a、c的值，即可得解；
（2）根據(jù)點A₁的坐標利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)分別求出A₂、A₃的坐標，然后求出A₁A₂、A₂A₃的長度，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可求出S₁、S₂，依此類推求出求出A₃A₄、A₄A₅的長度，然后得出規(guī)律并表示出A₁₀₀A₁₀₁的長度，再把x=100代入拋物線解析式求出y₁₀₀，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解；
（3）按照從左到右的順序，依次令三角形為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半列式求解得到t的值，再根據(jù)t的取值范圍進行判斷．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+c經(jīng)過點B₁（1，$\frac{1}{3}$），B₂（2，$\frac{7}{12}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}a+c=\frac{1}{3}\\ 4a+c=\frac{7}{12}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{12}\\ c=\frac{1}{4}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{12}$x²+$\frac{1}{4}$．
故答案為：y=$\frac{1}{12}$x²+$\frac{1}{4}$；

（2）∵A₁的橫坐標為t，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄是等腰三角形，
∴A₂（2-t，0），A₃（2+t，0），
∴A₁A₂=（2-t）-t=2-2t，A₂A₃=（2+t）-（2-t）=2t，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×（2-2t）×$\frac{1}{3}$=$\frac{1-t}{3}$，S₂=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{7}{12}$=$\frac{7}{12}$t，
依此類推，A₄（4-t，0），A₅（4+t，0），A₆（6-t，0），A₇（6+t，0），…，
∴A₃A₄=（4-t）-（2+t）=2-2t，A₄A₅=（4+t）-（4-t）=2t，
A₅A₆=（6-t）-（4+t）=2-2t，A₆A₇=（6+t）-（6-t）=2t，…，
A₁₀₀A₁₀₁=2t，
又∵y₁₀₀=$\frac{1}{12}$×100²+$\frac{1}{4}$=$\frac{10003}{12}$；
∴S${\;}_{△{A}_{100}{B}_{100}{C}_{101}}$=$\frac{1}{2}$×2t•$\frac{10003}{12}$=$\frac{10003}{12}$t．
故答案為：$\frac{10003}{12}$t；

（3）存在．
理由如下：若△A₁B₁A₂為等腰直角三角形，則A₁A₂=2-2t=2×$\frac{1}{3}$，
解得t=$\frac{2}{3}$，
若△A₂B₂A₃為等腰直角三角形，則A₂A₃=2t=2×$\frac{7}{12}$，
解得t=$\frac{7}{12}$，
若△A₃B₃A₄為等腰直角三角形，則A₃A₄=2-2t=2（$\frac{{3}^{2}}{12}$+$\frac{1}{4}$），
解得t=0，依次向右，t逐漸變小，
∵0＜t＜1，
∴t的值為$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{12}$時，所有等腰三角形中存在直角三角形．
故答案為：$\frac{2}{3}$或$\frac{7}{12}$．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及規(guī)律探尋，（2）中求出等腰三角形底邊的變化規(guī)律是解題的關鍵．