Question

17．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是邊AB上一點，連接DE，直線DE繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交BC的延長線于點F．
（1）如圖1，求證：DE=DF；
（2）如圖2，連接EF，若D關(guān)于直線EF的對稱點為H，連接CH，過點H作PH⊥CH交AB于點P，求證：E為AP中點；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AC交EF于點G，連接BG，BH，若BG=$\sqrt{5}$，AB=3，求線段PH的長．

Answer 1

分析 （1）全等三角形是證明兩條線段相等的重要方法之一．只要證明△ADE≌△CDF，即可得到DE=DF；
（2）連接HE，HF，由點H與點D關(guān)于直線EF對稱，所以EH=ED，F(xiàn)H=FD．因為DE=DF，所以EH=FH=ED=FD．即四邊形DEHF是菱形．由∠EDF=90°，得到四邊形DEHF是正方形，利用正方形的性質(zhì)證明△HPE≌△HCF，得到PE=CF，所以AE=PE，得到點E是AP的中點；
（3）過點E作EK∥BF，只要證明△EGK≌△CFG，可得EG=GF，推出EF=2BG=2$\sqrt{5}$，設(shè)AE=CF=a 則BE=3-a，BF=3+a，可得（3-a）²+（3+a）²=（2 $\sqrt{5}$）²，再證明△PCH是等腰直角三角形，求出PC即可解決問題；

解答 證明：（1）∵△DCF是由△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得，
∴∠EDF=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠A=∠DCB=90°，AD=DC
∴∠ADC=∠EDF=∠DCF=∠A=90°，
∴∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
即∠ADE=∠CDF，
在△ADE與△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}\\{AD=DC}\\{∠DAE=∠DCF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF；

（2）連接EH，F(xiàn)H，如圖2

∵D、H關(guān)于EF對稱，
∴EF垂直平分DH，
∴HE=DE，DF=HF，
又∵EF=EF，
∴△EDF≌△EHF，
∴∠EHF=∠EDF=90°，
又∵∠B=∠EHF=90°，
∴∠BPH=∠BCH，
∴∠EPH=∠FCH，
又∵DE=DF，
∴EH=HF，
又∵PH⊥CH，
∴∠PHC=∠EHF=90°，
∴∠PHE=∠CHF，
∴△PEH≌△CFH，
∴CF=PE，
又∵△ADE≌△CDF
∴AE=CF，
∴AE=PE，
∴E為AP中點；

（3）過點E作EK∥BF，如圖3：

∵EK∥BF，
∴∠EKA=∠BCA=45°，∠EKG=∠FCG，
∴∠EAK=∠EKA=45°，
∴EA=EK=CF，
又∵∠EGK=∠CGF，
∴△EGK≌△CFG，
∴EG=GF，
∴在Rt△EBF中，EF=2BG=2 $\sqrt{5}$，
∴設(shè)AE=CF=a 則BE=3-a，BF=3+a，
∴（3-a）²+（3+a）²=（2 $\sqrt{5}$）²
∴a=1（a=-1舍），
∴AE=PE=1，
∴BP=1，
連接PC，
∴PC=$\sqrt{B{P}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
由（2）可知△PEH≌△CFH，
∴HP=HC，∠PHE=∠CHF，
∴∠PHC=∠EHF=90°，
∴△PCH是等腰直角三角形，
∴PH=HC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{10}$=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，勾股定理的應(yīng)用，對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解決本題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)得到相等的邊和相等的角，證明三角形全等，作出輔助線也是解決本題的關(guān)鍵．