Question

10．已知x≠1，計(jì)算
（1-x）（1+x）=1-x²，
（1-x）（1+x+x²）=1-x³，
（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴．
（1）觀察以上各式并猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹（n為正整數(shù)）；
（2）根據(jù)你的猜想計(jì)算：
（1-2）（1+2+2²+2³+…+2⁹⁹）=1-2¹⁰⁰；
2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2．
（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=x¹⁰⁰-1．

Answer 1

分析 （1）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫(xiě)出即可；
（2）①根據(jù)得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果；
②原式變形后，利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果；
③原式變形后，利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）①原式=1-2¹⁰⁰；
②原式=2（1+2+2²+…+2^n-1）=-2（1-2）（1+2+2²+…+2^n-1）=-2（1-2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2；
③原式=-（1-x）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=-1+x¹⁰⁰．
故答案為：（1）1-xⁿ⁺¹
（2）1-2¹⁰⁰
 2ⁿ⁺¹-2
x¹⁰⁰-1

點(diǎn)評(píng) 此題考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用，找出其中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．