Question

如圖，若直線y=-x+16交x軸于點E，交y軸于點D，點A（m，m）在直線DE上，雙曲線y=

k

x

與直線AO交于A、B兩點．

（1）求k的值；
（2）過點B作BC⊥y軸，交DE于點C，若F（0，-16），連接AF交BC于點H，求證：OH+AH=OC；
（3）如果點Q為第二象限內(nèi)一動點，且在運動過程中始終保持∠AQB=90°，若AQ交y軸于M，BQ交x軸于N，則下列結(jié)論：①AM²+BN²=MN²；②AM+BN=MN，其中只有一個是正確的，請判斷正確結(jié)論并證明．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，先把點A（m，m）代入y=-x+16中求出m，則可得到A點坐標為（8，8），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征計算k的值；
（2）過C作CM⊥x軸于M，過A作AN⊥y軸于N，如圖2，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得點A與點B關(guān)于原點對稱，則B點坐標為（-8，-8），則利用C點在直線y=-x+16上課確定C點的坐標為（24，-8），再利用B點和F點坐標可判斷BC垂直平分OF，則HO=HF，所以O(shè)H+AH=HF+AH=AF，然后利用“SAS”證明△ANF≌△CMO，則AF=OC，于是得OH+AH=OC；
（3）截取OP=OM，連接BP、NP，如圖3，先利用“SAS”證明△OAM≌△OBP，得到∠OAM=∠OBP，AM=BP，OM=OP，易得AQ∥BP，NO垂直平分MP，所以∠QBP=∠AQB=90°，MN=NP，然后在Rt△BNP中，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可對②進行判斷；根據(jù)勾股定理可對①進行判斷．

解答：解：（1）∵點A（m，m）在直線y=-x+16上，
∴m=-m+16，解得m=8，
∴A點坐標為（8，8），
∵A（8，8）在函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴k=8×8=64，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

16

x

；
（2）過C作CM⊥x軸于M，過A作AN⊥y軸于N，如圖2，
∵雙曲線y=

k

x

與直線AO交于A、B兩點，
∴點A與點B關(guān)于原點對稱，
∴B點坐標為（-8，-8），
∵BC⊥y軸，
∴C點的縱坐標為-8，
把y=-8代入y=-x+16得-x+16=-8，解得x=24，
∴C點的坐標為（24，-8），
∵B（-8，-8），F(xiàn)（0，-16），
∴BC垂直平分OF，
∴HO=HF，
∴OH+AH=HF+AH=AF，
∵FN=ON+OF=8+16=24，
∴OM=NF，
在△ANF和△CMO中，

AN=CM ∠ANF=∠CMO NF=MO

，
∴△ANF≌△CMO（SAS），
∴AF=OC，
∴OH+AH=OC；
（3）①正確．
截取OP=OM，連接BP、NP，如圖3，
∵點A與點B關(guān)于原點對稱，
∴OA=OB，
在△OAM和△OBP中，

OA=OB ∠AOM=∠BOP OM=OP

，
∴△OAM≌△OBP（SAS），
∴∠OAM=∠OBP，AM=BP，OM=OP，
∴AQ∥BP，NO垂直平分MP，
∴∠QBP=∠AQB=90°，MN=NP，
在Rt△BNP中，
∵BN+BP＞NP，
∴AM+BN＞MN，所以②錯誤；
∵BP²+BN²=NP²，
∴AM²+BN²=MN²，所以①正確．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理；會運用三角形全等的知識解決線段相等和角相等的問題；理解坐標與圖形性質(zhì)．