Question

15．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點，那么AF的長是2$\sqrt{5}$；CH的長是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M，連接AC、CF，求出AM=4，F(xiàn)M=2，∠AMF=90°，根據(jù)正方形性質求出∠ACF=90°，由勾股定理求出AF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質求出CH=$\frac{1}{2}$AF，根據(jù)勾股定理求出AF即可．

解答 解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AD=AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延長AD交EF于M，連接AC、CF，
則AM=BC+CE=1+3=4，F(xiàn)M=EF-AB=3-1=2，∠AMF=90°，
∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H為AF的中點，
∴CH=$\frac{1}{2}$AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=$\sqrt{A{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴CH=$\sqrt{5}$，
故答案為：2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了勾股定理，正方形的性質，直角三角形斜邊上的中線的應用，解此題的關鍵是能正確作出輔助線，并求出AF的長和得出CH=$\frac{1}{2}$AF，有一定的難度．