Question

如圖，在一筆直的海岸線上有A，B兩個(gè)觀測(cè)站，A觀測(cè)站在B觀測(cè)站的正東方向，有一艘小船在點(diǎn)P處，從A處測(cè)得小船在北偏西60°方向，從B處測(cè)得小船在北偏東45°的方向，點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離是3

2

千米．（注：結(jié)果有根號(hào)的保留根號(hào)）
（1）求A，B兩觀測(cè)站之間的距離；
（2）小船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向以

3

千米/時(shí)的速度進(jìn)行沿途考察，航行一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)C處，此時(shí)，從B測(cè)得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的時(shí)間．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的長(zhǎng)，再解Rt△PAD，得到AD和AP的長(zhǎng)，然后根據(jù)BD+AD=AB，即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，先解Rt△ABF，得出BF和AF的長(zhǎng)，再解Rt△BCF，得出CF的長(zhǎng)，可求PC=AF+CF-AP，從而求解．

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，
∴BD=PD=3千米．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，
∴AD=

3

PD=3

3

千米，PA=6千米．
∴AB=BD+AD=3+3

3

（千米）；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F．
根據(jù)題意得：∠ABC=105°，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=

1

2

AB=

3+3 3

2

千米，AF=

3

2

AB=

3

+3 千米．
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴CF=BF=

3+3 3

2

千米，
∴PC=AF+CF-AP=3

3

千米．
故小船沿途考察的時(shí)間為：3

3

÷

3

=3（小時(shí)）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，難度適中．通過(guò)作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．