Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為M，直線BC的解析式為y=x-3．
（1）求拋物線的解析式和頂點M的坐標；
（2）若點P為直線BC下方拋物線上一動點，求點P到直線BC的最大距離；
（3）連接BM，點Q為y軸上一動點，當△QBM為直角三角形時，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線BC的解析式為y=x-3，求出B，C點的坐標，把B、C兩點的坐標代入二次函數(shù)y=x²+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函數(shù)的解析式；
（2）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點E，設P（x，x²-2x-3），于是得到Q點的坐標為（x，x-3），當點P到直線BC的距離最大時，四邊形ABPC的面積最大，根據(jù)四邊形ACPB的面積即可得到結(jié)論；
（3）當∠BQM=90°時，即Q與O重合，于是得到 Q（0，0），當∠MBQ=90°時，于是得到Q（0，3）．

解答 解：（1）由y=x-3令y=0，則x=3，令x=0，y=-3，
∴B（3，0），C（0，-3）
∵點B（3，0），C（0，-3）在二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象上，
∴將B、C兩點的坐標代入得
$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$
∴二次函數(shù)的表達式為：y=x²-2x-3，
∴頂點M的坐標為（1，-4）；

（2）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點E，
設P（x，x²-2x-3），
∵直線BC的解析式為y=x-3，
∴Q點的坐標為（x，x-3），
當點P到直線BC的距離最大時，四邊形ABPC的面積最大，
∴S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ
=$\frac{1}{2}$AB•OC+$\frac{1}{2}$QP•OE+$\frac{1}{2}$QP•EB
=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$（3x-x²）×3
=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∴當x=$\frac{3}{2}$時，四邊形ABPC的面積最大．此時P點的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），

（3）設Q（0，a），
∴BQ²=9+a²，BM²=4+16=20，QM²=1+（a-4）²，
當∠BQM=90°時，BQ²+QM²=BM²，即9+a²+1+（a-4）²=20，
解得：a=1．a(chǎn)=-5，
當∠MBQ=90°時，BQ²+BM²=QM²，即9+a²+20=1+（a-4）²，
解得：a=-$\frac{3}{2}$，
當∠BMQ=90°時，MQ²+BM²=QB²，即1+（a-4）²+20=9+a²，
解得：a=$\frac{7}{2}$，
綜上所述，當△QBM為直角三角形時，點Q的坐標為Q（0，1）或Q（0，-5）或（0，-$\frac{3}{2}$）或（0，$\frac{7}{2}$）．

點評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、三角形的面積公式等知識，難度適中．