Question

同學們知道：只有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等．在△ABC中和△ADC中，AB=AD，∠BCA=∠DCA，當∠BCA分別為“直角、鈍角、銳角”時，探究這兩個三角形會不會全等．
（1）填空：如圖A，當∠BCA是直角時：
∵△ABC和△ADC，AB=AD，AC=AC，∠BCA=∠DCA=90°．
∴△ABC≌△ADC

 

．（從SAS、ASA、AAS、SSS、HL中選取一項作為理由）
（2）如圖B，當∠BCA是鈍角時，求證：△ABC≌△ADC．（提示：過點A作AE⊥DC交DC的延長線于E，過點作AF⊥BC交BC的延長線于F）
（3）當∠BCA是銳角時，△ABC和∠ADC不一定全等．
例如：如圖C，在△A₁B₁C₁和△E₁B₁C₁中，A₁B₁=B₁E₁，∠B₁C₁A₁=∠B₁C₁E₁，B₁C₁=B₁C₁，但是這兩個三角形不全等．
當∠BCA滿足什么條件時，可得△ABC≌△ADC？請直接寫出這個條件：

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）直角三角形中，根據(jù)一條直角邊和斜邊判定三角形全等方法為“HL”方法；
（2）易證∠ACE=∠ACF，即可證明△AEC≌△AFC，可得AE=AF，即可證明RT△ADE≌RT△ABF，可得∠B=∠D，即可證明△ABC≌△ADC，（AAS）；
（3）如圖所示，∠BAE是銳角，而∠BEC是鈍角，AB=BE，此時添加條件∠BCA≥∠BAC，則可使得∠BAE只能是銳角，即可解題．

解答：解：（1）HL；
（2）過點A作AE⊥DC交DC的延長線于E，過點作AF⊥BC交BC的延長線于F，
∵∠BCA=∠DCA，
∴∠ACE=∠ACF，
在△AEC和△AFC中，

∠E=∠F=90° ∠ACE=∠ACF AC=AC

，
∴△AEC≌△AFC，（AAS）
∴AE=AF，
在RT△ADE和RT△ABF中，

AE=AF AB=AD

，
∴RT△ADE≌RT△ABF（HL），
∴∠B=∠D，
在△ABC和△ADC中，

∠BCA=∠DCA ∠B=∠D AB=AD

，
∴△ABC≌△ADC（AAS）；
（3）∠BCA≥∠BAC，
理由：在△A₁B₁C₁和△E₁B₁C₁中，A₁B₁=B₁E₁，∠B₁C₁A₁=∠B₁C₁E₁，B₁C₁=B₁C₁，但是這兩個三角形不全等．
不全等原因是因為∠BAE可以是銳角也可以是鈍角，
添加條件∠BCA≥∠BAC，此時∠BAC只能是銳角，
故此時用“SAS”方法即可判定△ABC≌△ADC．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AEC≌△AFC和RT△ADE≌RT△ABF是解題的關(guān)鍵．