Question

4．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c與直線y=$\frac{1}{2}x+1$相交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在y軸上，當(dāng)x=6時(shí)，二次函數(shù)有最大值，最大值為10，點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)C在AB上方），過C作CD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在何位置時(shí)，線段CE有最大值？請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及CE的最大值；
（3）當(dāng)點(diǎn)C在何位置時(shí)，線段BE與線段CF互相平分？請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行于y軸兩點(diǎn)之間的距離是減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)解方程組，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，可得關(guān)于關(guān)于x的方程，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）將x=0代入y=$\frac{1}{2}$x+1，得y=1．
∴點(diǎn)A（0，1）．
設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x-6）²+10，
將x=0，y=1代入，得a=-$\frac{1}{4}$
∴y=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+10．
即y=-$\frac{1}{4}$x²+3x+1．
（2）點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)E在AB上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{4}$m²+3m+1），E（m，$\frac{1}{2}$m+1）
y_CE=-$\frac{1}{4}$m²+3m+1-$\frac{1}{2}$m-1=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{5}{2}$m
x=5時(shí)，y_CE最大=$\frac{25}{4}$．
將m=5代入y=-$\frac{1}{4}$x²+3m+1，得y=$\frac{39}{4}$．
∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，$\frac{39}{4}$）時(shí)，y_CE最大=$\frac{25}{4}$．
（3）$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+3x+1}\end{array}\right.$
解，得x₁=0，x₂=10．
將x=10代入y=$\frac{1}{2}$x+1=6，
∴BF=6．
∵線段BE與線段CF互相平分，
∴四邊形BCEF是平行四邊形．
∴CE=BF=6．
即-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{5}{2}$x=6．
解，得x₁=4，x₂=6．
將x₁=4，x₂=6，分別代入y=-$\frac{1}{4}$x²+3x+1．
得y₁=9，y₂=10．
∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，9）或（6，10）時(shí)，線段BE與線段CF互相平分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用平行于y軸兩點(diǎn)之間的距離是減較小的縱坐標(biāo)得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵；利用平行四邊形的判定與性質(zhì)得出關(guān)于關(guān)于x的方程是解題關(guān)鍵．