Question

8．如圖，把n個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA₁C=1，tan∠BA₂C=$\frac{1}{3}$，tan∠BA₃C=$\frac{1}{7}$，計(jì)算tan∠BA₄C=$\frac{1}{13}$，…按此規(guī)律，寫(xiě)出tan∠BA_nC=$\frac{1}{{n}^{2}-n+1}$（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 作CH⊥BA₄于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積公式求出CH、A₄H，根據(jù)正切的概念求出tan∠BA₄C，總結(jié)規(guī)律解答．

解答 解：作CH⊥BA₄于H，
由勾股定理得，BA₄=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，A₄C=$\sqrt{10}$，
△BA₄C的面積=4-2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{17}$×CH=$\frac{1}{2}$，
解得，CH=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
則A₄H=$\sqrt{{A}_{4}{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{13\sqrt{17}}{17}$，
∴tan∠BA₄C=$\frac{CH}{{A}_{4}H}$=$\frac{1}{13}$，
1=1²-1+1，
3=2²-2+1，
7=3²-3+1，
∴tan∠BA_nC=$\frac{1}{{n}^{2}-n+1}$，
故答案為：$\frac{1}{13}$；$\frac{1}{{n}^{2}-n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及正切的概念，掌握正方形的性質(zhì)、熟記銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．