Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=4，如圖把邊長分別為x₁，x₂，x₃，…，x_n的n個正方形依次放入△ABC中，則第n個正方形的邊長x_n=

 

（用含n的式子表示，n≥1）．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)正方形的對邊平行證明△BDF∽△BCA，然后利用相似三角形對應邊成比例列出比例式即可求出第1個正方形的邊長，同理利用前兩個小正方形上方的三角形相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例式即可求出前兩個小正方形的邊長的關系，以此類推，找出規(guī)律便可求出第n個正方形的邊長．

解答：解：如下圖所示，

∵四邊形DCEF是正方形，
∴DF∥CE，
∴△BDF∽△BCA，
∴DF：AC=BD：BC，
即x₁：4=（1-x₁）：1
解得x₁=

4

5

，
同理，前兩個小正方形上方的三角形相似，

x1

x2

=

1-x1

x1-x2

解得x₂=x12
同理可得，

x1

x3

=

1-x1

x2-x3

，x₃=x₁x₂=x13
…
以此類推，第n個正方形的邊長x_n=(

4

5

)n．
故答案為：(

4

5

)n．

點評：本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是根據(jù)相似三角形對應邊成比例找出后面正方形的邊長與第一個正方形的邊長的關系．