Question

6．如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，D是AB上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O切AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：BD²=BF²+4CE²；
（2）若BC=3，sinB=$\frac{4}{5}$，求線段BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OE、DF，交于點(diǎn)G，由勾股定理可得BD²=BF²+DF²，再由垂徑定理可證明DF=2CE，可證得結(jié)論；
（2）設(shè)BD=2r，CF=EG=x，可表示出OG、BF，又DF∥AC，可得$\frac{BD}{BA}$=$\frac{DF}{AC}$，由條件可求得AC、BC、AB，可求得BF=6-3r，再由$\frac{BF}{BD}$=$\frac{3}{5}$可求得r，則可求得BF．

解答 （1）證明：如圖，連接OE、FD，交于點(diǎn)G，

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠DFB=∠C=90°，
∵AC為⊙O的切線，
∴∠GEC=90°，
∴四邊形CEGF為矩形，
∴FG=CE，
又∵EO過圓心，
∴DF=2CE，
在Rt△BDF中，由勾股定理可得BD²=BF²+DF²，
∴BD²=BF²+4CE²；
（2）解：由sinB=$\frac{4}{5}$，BC=3，
解得AB=5，AC=4，
設(shè)BD=2r，CF=EG=x，
則BF=BC-x=3-x，OG=r-x，
∵O為BD中點(diǎn)，且OG∥BC，
∴OG為△BDF的中位線，
∴BF=2OG，
∴3-x=2（r-x），解得x=2r-3，
∴BF=3-（2r-3）=6-2r，
又∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BF}{BD}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{6-2r}{2r}$=$\frac{3}{5}$，解得r=$\frac{15}{8}$，
∴BF=6-2×$\frac{15}{8}$=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的性質(zhì)及勾股定理、中位線定理、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，在（1）中證明DF=2CE是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得半徑的值是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)較多，有一定的難度，在解題時(shí)注意方程思想的應(yīng)用．