Question

12．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O點，EF為BC邊上的兩點，且∠EOF=45°，過點O作OE的垂線OG，交AB于點G，連接FG，下列結論：①△COE≌△BOG；②△COE∽△BOF；③CE+BF=EF；④CE²+BF²=EF²．其中正確結論的序號是①④（把正確結論的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；首先運用正方形的性質證明OB=OC，∠OBG=∠OCE=45°；證明∠BOG=∠COE，運用ASA公理即可證明△COE≌△BOG，得到結論①正確；證明△MOE≌△COE，得到∠OME=∠OCE=45°，進而得到∠EMF=90°，運用勾股定理即可證明結論④正確．

解答 解：如圖，作△OBF的對稱△OMF，連接ME；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴OB=OC，∠OBG=∠OCE=45°，∠BOC=90°；
∵OG⊥OE，
∴∠BOG=∠COE；在△COE與△BOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠BOG}\\{OC=OB}\\{∠OBG=∠OCE}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△BOG（ASA），
故①正確．
設∠BOF=α，∠COE=β；
∵∠BOC=90°，∠EOF=45°，
∴α+β=90°-45°=45°；
由題意得：∠MOF=∠BOF=α，∠OMF=∠OBF=45°，
OM=OB；則∠MOE=45°-α，OC=OM；
∵∠COE=45°-α，
∴∠MOE=∠COE；在△MOE與△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OM}\\{∠COE=∠MOE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△MOE≌△COE（SAS），
∴ME=CE，∠OME=∠OCE=45°，
∴∠FME=90°，MF²+ME²=EF²，
即CE²+BF²=EF²，
故④正確，
故答案為①④．

點評 該題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定、勾股定理等幾何知識點及其應用問題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關鍵是靈活運用正方形的性質、全等三角形的判定、勾股定理等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．