Question

7．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，將△ABC繞著頂點B順時針旋轉(zhuǎn)∠α得到△EBD（0°≤α≤360°），F(xiàn)，G分別是AB，BE上的點，BF=BG，直線CF與直線DG相交于點H．
（1）如圖①，當∠α=60°時，點C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點D，點A旋轉(zhuǎn)到點E的位置，這時△CBF全等嗎？說明理由并且求出此時∠FHG的度數(shù)．
（2）如圖②，當∠α=120°時，點C，B，E在同一直線上，這時∠FHG的度數(shù)有沒有發(fā)生變化？若有變化，請求出變化后∠FHG的度數(shù)；若沒有變化，請說明理由．
（3）如圖③，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在CF∥DG的情況？若存在，直接寫出此時∠α的度數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠DBG=∠CBD=60°，BC=BD，由SAS即可得出△CBF≌△DBG；由△CBF≌△DBG得出對應角相等∠CFB=∠DGB，證出∠DGB+∠BFH=180°，再由四邊形內(nèi)角和得出∠FHG+∠FBG=180°，即可求出∠FHG的度數(shù)；
（2）由△CBF≌△DBG得出對應角相等∠CFB=∠DGB，證出∠DGB+∠BFH=180°，再由四邊形內(nèi)角和得出∠FHG+∠FBG=180°，即可求出∠FHG的度數(shù)；
（3）連接CG、DF，證明四邊形CGDF是平行四邊形，得出C、B、D共線，即可得出∠α的度數(shù)．

解答 解：（1）CBF≌△DBG；理由如下：
根據(jù)題意得：∠DBG=∠CBD=60°，BC=BD，
在△CBF和△DBG中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BD}&{\;}\\{∠CBD=∠DBG}&{\;}\\{BF=BG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△DBG（SAS），
∴∠CFB=∠DGB，
∵∠CFB+∠BFH=180°，
∴∠DGB+∠BFH=180°，
在四邊形BGHF中，∠FHG+∠FBG=360°-（∠DGB+∠BFH）=180°，
∴∠FHG=180°-∠FBG=120°；

（2）∠FHG的度數(shù)發(fā)生變化，∠FHG=60°；理由如下：
∵△CBF≌△DBG，
∴∠CFB=∠DGB，
∵∠CFB+∠BFH=180°，
∴∠DGB+∠BFH=180°，
在四邊形BGHF中，∠FHG+∠FBG=360°-（∠DGB+∠BFH）=180°，
∴∠FHG═180°-∠FBG=180°-120°=60°；

（3）存在CF∥DG的情況，∠α=180°；
理由如下：連接CG、DF，如圖所示：
∵△CBF≌△DBG，
∴CF=DG，
又∵CF∥DG，
∴四邊形CGDF是平行四邊形，
∵BC=BD，BF=BG，
∴B為平行四邊形CGDF對角線的交點，
∴C、B、D三點共線，
∴∠CBD=180°，
即∠α=180°．

點評 本題是幾何變換綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（3）中，需要通過作輔助線證明平行四邊形和三點共線才能得出結(jié)果．