Question

16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，作⊙P交y軸于點(diǎn)A，B，交x軸于C，D兩點(diǎn)，已知A（0，2），D（-1，0），且點(diǎn)A是弧DG的中點(diǎn)，連結(jié)DG，AG，DG與y軸交于點(diǎn)E．
（1）求證：AE=DE；
（2）求P點(diǎn)的坐標(biāo)及CG的長；
（3）如圖2，點(diǎn)Q是⊙P上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸下方，連結(jié)AQ，交DG與點(diǎn)R，當(dāng)△AGR是等腰三角形時(shí)，求GQ的值．（不需要過程，直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）由A是DG$\widehat{DG}$的中點(diǎn)，得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AG}$，AG=AD，因?yàn)镃D是直徑，AB⊥CD，得到AD=BD，∠BAD=∠ABD，∠BAD=∠ADE，所以AE=DE；
（2）由OA=2，OD=1，設(shè)半徑為x，則OP=x-1，根據(jù)勾股定理得方程，求得P點(diǎn)的坐標(biāo)及CG的長；
（3）有三種情況：①AR=GR時(shí)，GQ=AC=2；②AG=AR時(shí)，過C作CI⊥QG于I，連接CQ，由AG=AR得到∠AGR=∠ARG，∠AGD+∠QGD=∠ACG+∠CGQ，因?yàn)?\widehat{AG}$=$\widehat{AD}$，所以∠AGD=∠ACG，根據(jù)∠QGD+∠CGQ=90°，得到∠QGD=∠CGQ=45°，CQ=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，因?yàn)镃I⊥GQ，所以IG=IC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，RQ=$\sqrt{{CQ}^{2}{-CG}^{2}}=2\sqrt{2}$，GQ=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$；
③當(dāng)AG=RG時(shí)，作GH⊥AC于H，由∠GAC=∠GDC，∠GHC=∠DGC=90°，得到△AGH∽△DCG，$\frac{AG}{AH}$=$\frac{CD}{DG}$，AH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，AR=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，CR=AC-AH-AR=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，根據(jù)∠GAR=∠Q，∠ARG=∠CRQ，RG=AG=$\sqrt{5}$，$\frac{RQ}{CR}$=$\frac{AR}{RG}$，得到RG=$\frac{16\sqrt{5}}{25}$，GQ=CR+RQ=$\frac{41\sqrt{5}}{25}$．

解答 證明：如圖1（1）連結(jié)AD，BD，
∵A是DG$\widehat{DG}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AG}$，
∴AG=AD，
∴∠AGD=∠ADG，
∵CD是直徑，AB⊥CD，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AE=DE；

（2）如圖2，由題意得：OA=2，OD=1
連結(jié)AP，設(shè)半徑為x，則OP=x-1，
∴（x-1）²+2²=x²，
解得：x=2.5，
∴P（-1.5，0），
∵AG=AD
∴AP⊥DG，DG=2DF，
∵S_△ADP=$\frac{1}{2}$AP•DF=$\frac{1}{2}PD$•OA，PA=PD，
∴DF=OA=2
∴DG=4，∵CD=5，
∴CG=3；

（3）如圖3①AR=GR時(shí)，GQ=AC=2$\sqrt{5}$，
如圖4②AG=AR時(shí)，GQ=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
過C作CI⊥QG于I，連接CQ，
∵AG=AR∴∠AGR=∠ARG，
∴∠AGD+∠QGD=∠ACG+∠CGQ，
∵$\widehat{AG}$=$\widehat{AD}$，
∴∠AGD=∠ACG，
∴∠QGD=∠CGQ，
∵∠QGD+∠CGQ=90°，
∴∠QGD=∠CGQ=45°，
∴CQ=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∵CI⊥GQ，
∴IG=IC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴RQ=$\sqrt{{CQ}^{2}{-CG}^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴GQ=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$；
③如圖5當(dāng)AG=RG時(shí)，GQ=$\frac{41\sqrt{5}}{25}$，
作GH⊥AC于H，
∵∠GAC=∠GDC，∠GHC=∠DGC=90°，
∴△AGH∽△DCG，
∴$\frac{AG}{AH}$=$\frac{CD}{DG}$，∴AH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴AR=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴CR=AC-AH-AR=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵∠GAR=∠Q，∠ARG=∠CRQ，RG=AG=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{RQ}{CR}$=$\frac{AR}{RG}$，
∴RG=$\frac{16\sqrt{5}}{25}$，
∴GQ=CR+RQ=$\frac{41\sqrt{5}}{25}$，
綜上所述：GQ的長度；2$\sqrt{5}$，$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，$\frac{41\sqrt{5}}{25}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的求法等知識點(diǎn)．