Question

18．已知：如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，點(diǎn)D在斜邊AB上，分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，得四邊形DECF．設(shè)DE=x，四邊形DECF的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x²+8x．

Answer 1

分析 根據(jù)題意求證四邊形DECF為矩形，即可推出DF=EC，然后結(jié)合圖形即可求出AE=8-DF；根據(jù)余角的性質(zhì)即可推出∠A=∠BDF，繼而求證△ADE∽△DBF，結(jié)合對應(yīng)邊成比例和BF=4-x，AE=8-DF，即可求出DF=-2x+8，根據(jù)矩形的面積公式通過等量代換，即可求出二次函數(shù)y=DE•DF=-2x²+8x，

解答 解：∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四邊形DECF為矩形，
∴DF=EC，
∵AC=8，AE=AC-EC，
∴AE=8-DF，
∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠A+∠B=90°，∠BDF+∠ADE=90°，
∴∠A=∠BDF，
∴△ADE∽△DBF，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{DE}{BF}$，
∵四邊形DECF為矩形，
∴CF=x，CE=DF，
∴BF=BC-CF=4-x，
∵AE=8-DF，
∴$\frac{8-DF}{DF}$=$\frac{x}{4-x}$，
∴DF=-2x+8，
∴y=DE•DF=x（-2x+8）=-2x²+8x．
故答案為：y=-2x²+8x．

點(diǎn)評 本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，矩形的面積，二次函數(shù)的最值等知識點(diǎn)，角的三角函數(shù)，關(guān)鍵在于推出AB的長度，求證△ADE∽△DBF，用關(guān)于x、y的式子表達(dá)出相關(guān)的線段，認(rèn)真的進(jìn)行計算．