Question

13．如圖，△ACD∽△A₁C₁D₁，頂點(diǎn)A、D、C分別與A₁、D₁、C₁對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B、B₁分別在AD、A₁D₁、的延長(zhǎng)線上，且AD=$\frac{1}{3}$BD，A₁D₁=$\frac{1}{3}$B₁D₁．求證：$\frac{CD}{{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{BC}{{B}_{1}{C}_{1}}$．

Answer 1

分析 由△ACD∽△A₁C₁D₁，得到$\frac{AC}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{AD}{{A}_{1}{D}_{1}}$，∠A=∠A₁，∠ADC=∠A₁D₁C₁，推出∠CDB=∠C₁D₁B₁，根據(jù)已知條件AD=$\frac{1}{3}$BD，A₁D₁=$\frac{1}{3}$B₁D₁．得到AD=$\frac{1}{4}$AB，A₁D₁=$\frac{1}{4}$A₁B₁，推出△ABC∽△A₁C₁B₁，得到∠B=∠B₁，證得△CDB∽△C₁D₁B₁，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵△ACD∽△A₁C₁D₁，
∴$\frac{AC}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{AD}{{A}_{1}{D}_{1}}$，∠A=∠A₁，∠ADC=∠A₁D₁C₁，
∴∠CDB=∠C₁D₁B₁，
∵AD=$\frac{1}{3}$BD，A₁D₁=$\frac{1}{3}$B₁D₁．
∴AD=$\frac{1}{4}$AB，A₁D₁=$\frac{1}{4}$A₁B₁，
∴$\frac{AC}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$，
∴△ABC∽△A₁C₁B₁，
∴∠B=∠B₁，
∴△CDB∽△C₁D₁B₁，
∴$\frac{CD}{{C}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{BC}{{B}_{1}{C}_{1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．