Question

已知：矩形ABCD中，M為BC邊上一點(diǎn)， AB=BM=10，MC=14，如圖1，正方形EFGH的頂點(diǎn)E和點(diǎn)B重合，點(diǎn)F、G、H分別在邊AB、AM、BC上.如圖2，P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，正方形EFGH從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BC向點(diǎn)C勻速移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CA向點(diǎn)A勻速移動(dòng).當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)線段AC上時(shí)，正方形EFGH和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，解答下列問(wèn)題：

（1）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)F落在線段AM上和點(diǎn)G落在線段AC上時(shí)，分別求出對(duì)應(yīng)t的值；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形與重疊部分面積為S,請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍；

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P,使是以DG為腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由.

 

 

Answer 1

(1)5，7；（2）答案見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角形的中位線易求t的值；

（2）分5種位置關(guān)系分別討論；

（3）可以建立以點(diǎn)B為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，表示出這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離，再用兩點(diǎn)間的距離公式表示出各邊的長(zhǎng)度，然后分兩種情況討論組成關(guān)于t的兩個(gè)方程求解即可。

試題解析：(1)∵為正方形

∴

∴

∴的中點(diǎn)

∴秒

又∵當(dāng)落在上時(shí),所走路程為的中位線的長(zhǎng).

又∵

∴

∴秒

(2)當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

時(shí)，

時(shí)，

(3)∵

①當(dāng)時(shí),為等腰三角形

∴ ∴秒

∵ ∴存在點(diǎn),使為等腰三角形

②當(dāng)時(shí)，為等腰三角形

∴

∴ ∴（舍去）， （舍去）

綜上，存在點(diǎn),當(dāng)秒時(shí)，是以DG為腰的等腰三角形.

考點(diǎn)：1.三角形的中位線；2.二次函數(shù)；3.等腰三角形的性質(zhì).