Question

3．如圖，等邊△ABC中，BC=6，D、E分別在BC、AC上，且DE∥AC，MN是△BDE的中位線．將線段DE從BD=2處開始向AC平移，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段MN所掃過(guò)的區(qū)域面積為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 因?yàn)镸N是三角形EMN的中位線，所以MN∥BD，所以在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段MN所掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樘菪危�然后分別求得梯形的上底、下底和高，然后利用公式計(jì)算即可．

解答 解：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段MN所掃過(guò)的區(qū)域面積如圖陰影所示：

∵M(jìn)N是△BDE的中位線．
∴MN=$\frac{1}{2}BD$=$\frac{1}{2}×2$=1，且MN∥BD．
同理：M′N′=3，且M′N′∥BD
∴四邊形MNN′M′為梯形．
MG=MB•sin30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
N′F=N′C•sin30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴梯形MNN′M′的高=$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴梯形MNN′M′的面積=$\frac{1}{2}（MN+M′N′）$（FN-MG）
=$\frac{1}{2}$×$4×\sqrt{3}$
=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查軌跡的問(wèn)題，由三角形中位線的性質(zhì)判斷出MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀是解題的關(guān)鍵．