Question

12．如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），直線l：y=-2x+b經(jīng)過點(diǎn)A交x軸于點(diǎn)G．
（1）直接填空：b=3；
（2）直線l上有一個動點(diǎn)P．
①試探究|PB-PC|的最大值，并說明理由；
②若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a（0＜a≤4），且△ACP的面積為S，試求S與a的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-2x+b求解即可，
（2）①利用三角形三邊關(guān)系可得|PB-PC|＜BC，只有當(dāng)點(diǎn)B、C、P在同一直線上時|PB-PC|的最大值，
②先利用勾股定理求出AP的長，過點(diǎn)C作CD⊥AG于點(diǎn)D，再求出OG，CG利用三角函數(shù)值得出CD的值，再運(yùn)用三角形的面積公式求解即可．

解答 解：（1）∵矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），
∴A（0，3），
∵y=-2x+b經(jīng)過點(diǎn)A，
∴把A（0，3）代入y=-2x+b得b=3，
故答案為：3．
（2）①如圖1，連接BP，

由三角形三邊關(guān)系可得|PB-PC|＜BC，
延長BC交AG于點(diǎn)P′，只有當(dāng)P運(yùn)動到點(diǎn)P′時，|PB-PC|=BC=3，
所以|PB-PC|的最大值為4．
②∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，l的解析式為y=-2x+3，
∴P（a，-2a+3）．
∴AP=$\sqrt{{a}^{2}+[3-（-2a+3）]^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
如圖2，過點(diǎn)C作CD⊥AG于點(diǎn)D，

∵y=-2x+3交x軸于點(diǎn)G．
∴G（$\frac{3}{2}$，0），
∴OG=$\frac{3}{2}$，CG=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，AG=$\sqrt{A{O}^{2}+O{G}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴sin∠AGO=$\frac{AO}{AG}$=$\frac{3}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵sin∠CGD=$\frac{CD}{CG}$=$\frac{CD}{\frac{5}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴CD=$\sqrt{5}$，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•CD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$a×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$a．

點(diǎn)評 本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及一次函數(shù)的解析式，最值及三角函數(shù)問題上，解題的關(guān)鍵是靈活作出輔助線，正確的求出三角形的高與底．