Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求證：△DEF是等腰三角形；
（2）當∠A=40°時，求∠DEF的度數(shù)；
（3）猜想：當∠A為多少度時，∠DEF=60°？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過全等三角形的判定定理SAS證得△DBE≌△ECF，由“全等三角形的對應(yīng)邊相等”推知DE=EF，所以△DEF是等腰三角形；
（2）由等腰△ABC的性質(zhì)求得∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-40°）=70°，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推知∠BDE+∠DEB=110°；再結(jié)合△DBE≌△ECF的對應(yīng)角相等：∠BDE=∠FEC，故∠FEC+∠DEB=110°，易求∠DEF=70°；
（3）由（2）知，∠DEF=∠B，于是得到∠B=60°，推出△ABC是等邊三角形，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵AB=AD+BD，AB=AD+EC，
∴BD=EC．
在△DBE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠B=∠C}\\{BD=EC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△ECF（SAS）     
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；

（2）解：∵∠A=40°，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-40°）=70°，
∴∠BDE+∠DEB=110°． 
又∵△DBE≌△ECF，
∴∠BDE=∠FEC，
∴∠FEC+∠DEB=110°，
∴∠DEF=70°；
（3）解：當∠A=60°時，∠DEF=60°，
理由：由（2）知，∠DEF=∠B，
∵∠DEF=60°，
∴∠B=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．