Question

3．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD．連接AC、BD，AC⊥DC．過點(diǎn)B作BE⊥AC，分別交AC、AD于點(diǎn)E、F．點(diǎn)G為BD中點(diǎn)，連接CG．
（1）求證：△ABE≌△DAC；
（2）根據(jù)題中所給條件，猜想：CE與CG的數(shù)量關(guān)系，
并請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用AAS，只要證明∠ABE=∠DAC，即可解決問題；
（2）只要證明△CAG≌△EBG，想辦法證明△CEG是等腰直角三角形即可解決問題．

解答 （1）證明：∵AB⊥AD，
∴∠BAE+∠DAC=90°，
又∵BE⊥AC，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAC，
∵AC⊥DC，
∴∠DCA=∠AEB=90°，
又∵AB=AD
∴△ABE≌△DAC．

（2）解：結(jié)論：CE=$\sqrt{2}$CG．
理由：連結(jié)AG、EG
由（1）知BE=AC，∠DAC=∠ABE，
∵∠BAD=90°，AB=AD，G為BD的中點(diǎn)，
∴AG=BG，∠DAG=∠BAG=∠ABD=45°．
∵∠DAC=∠ABE，
∴∠CAG=∠EBG，
在△CAG和△EBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AC}\\{AG=BG}\\{∠CAG=∠EBG}\end{array}\right.$，
∴△CAG≌△EBG，
∴CG=EG，∠ACG=∠BEG，
∴∠ACG=∠CEG，
∴∠ACG=∠CEG=∠GEB，
又∵BE⊥AC，
∴∠ACG=∠CEG=∠GEB=45°，
∴∠CGE=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$CG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．