Question

5．已知△ABC是直徑為10的圓內(nèi)接等腰三角形，若BC=4$\sqrt{5}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 分等腰三角形的底邊BC=4$\sqrt{5}$和腰BC=4$\sqrt{5}$兩種情況，而底邊BC=4$\sqrt{5}$又分為三角形三頂點(diǎn)在圓心O的同側(cè)和異側(cè)兩種情況，根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出三角形的底邊和底邊上的高即可得．

解答 解：如圖1，當(dāng)?shù)妊�三角形的底邊BC=4$\sqrt{5}$，
′
根據(jù)題意知，OA=OB=OA′=5，BD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{5}$，
OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AD=AO+OD=5+$\sqrt{5}$，
∴此時(shí)S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC•AD=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$×（5+$\sqrt{5}$）=10$\sqrt{5}$+10；
∵A′D=OA′-OD=5-$\sqrt{5}$，
∴此時(shí)S_△A′BC=$\frac{1}{2}$×BC•A′D=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$×（5-$\sqrt{5}$）=10$\sqrt{5}$-10；
如圖2，當(dāng)?shù)妊�三角形的腰BC=4$\sqrt{5}$時(shí)，

∵AC=BC=4$\sqrt{5}$，OA=OC=5，
∴AD²+OD²=AO²，AD²+CD²=AC²，
即AD²+（CD-5）²=25，AD²+CD²=80，
解得：AD=4，CD=8，
∴AB=2AD=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB•CD=$\frac{1}{2}$×8×8=32，
綜上，△ABC的面積為10$\sqrt{5}$+10或10$\sqrt{5}$-10或32．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和垂徑定理．要會(huì)根據(jù)弦心距，弦的一半和半徑構(gòu)造的直角三角形中勾股定理求邊長．