Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（　　）

• A． $\frac{12}{5}$
• B． 4
• C． 5
• D． $\frac{24}{5}$

Answer 1

分析 過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EQ⊥AC于點(diǎn)Q，EQ交AD于點(diǎn)P，連接CP，此時(shí)PC+PQ=EQ取最小值，根據(jù)勾股定理可求出AB的長度，再根據(jù)EQ⊥AC、∠ACB=90°即可得出EQ∥BC，進(jìn)而可得出$\frac{AE}{AB}=\frac{AQ}{AC}=\frac{EQ}{BC}$，代入數(shù)據(jù)即可得出EQ的長度，此題得解．

解答 解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EQ⊥AC于點(diǎn)Q，EQ交AD于點(diǎn)P，連接CP，此時(shí)PC+PQ=EQ取最小值，如圖所示．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠EAD}\\{∠ACD=∠AED=90°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE=AC=6．
∵EQ⊥AC，∠ACB=90°，
∴EQ∥BC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AQ}{AC}=\frac{EQ}{BC}$，
∴EQ=$\frac{24}{5}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、軸對(duì)稱中的最短路線問題以及平行線的性質(zhì)，找出點(diǎn)P、Q的位置是解題的關(guān)鍵．