Question

7．如圖，已知O為正方形ABCD對角線的交點，CE平分∠ACB交AB于點E，延長CB到點F，使BF=BE，連接AF，交CE的延長線于點G，連接OG．
（1）求證：△BCE≌△BAF；
（2）求證：OG=OC；
（3）若AF=2-$\sqrt{2}$，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，BF=BE，可利用SAS證得：△BCE≌△BAF；
（2）由△BCE≌△BAF，易證得CG⊥AF，又由CE平分∠ACB，可得△ACF是等腰三角形，G是AF的中點，繼而可得OG是△ACF的中位線，則可證得結(jié)論；
（3）首先設(shè)邊長為x，由（2）可表示出BF的長，然后由勾股定理得方程：（2-$\sqrt{2}$）²=[（$\sqrt{2}$-1）x]²+x²，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABF=∠EBC=90°，
在△BCE和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠EBC=∠ABF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BAF（SAS）；

（2）∵△BCE≌△BAF，
∴∠BCE=∠BAF，
∵∠BEC=∠MEG，
∴∠AGE=∠EBC=90°，
∴CG⊥AF，
∵CE平分∠ACB，
∴AC=FC，AG=FG，
∵OA=OC，
∴OG∥BC，
∴∠OGC=∠FCG，
∵∠OCG=∠FCG，
∴∠OGC=∠OCG，
∴OG=OC；

（3）設(shè)AB=x，則AC=FC=$\sqrt{2}$x，
∴BF=FC-BC=（$\sqrt{2}$-1）x，
在Rt△ABF中，AF²=BF²+AB²，
∴（2-$\sqrt{2}$）²=[（$\sqrt{2}$-1）x]²+x²，
解得：x²=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．
∴正方形ABCD的面積為：$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．

點評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．注意利用方程思想求解是解此題的關(guān)鍵．