Question

17．已知直線l₁：y₁=x+m與直線l₂：y₂=nx+3相交于點(diǎn)A（1，2）．
（1）求m、n的值；
（2）請(qǐng)?jiān)谒�給坐標(biāo)系中畫出直線l₁和l₂，并根據(jù)圖象回答問題：
當(dāng)x滿足x＞1時(shí)，y₁＞2；當(dāng)x滿足0≤x＜3時(shí)，0＜y₂≤3；當(dāng)x滿足x＜1時(shí)，y₁＜y₂．
（3）設(shè)l₁交x軸于點(diǎn)B，l₂交x軸于點(diǎn)C，若點(diǎn)D與點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成平行四邊形，直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入兩直線解析式可分別求得m、n的值；
（2）由（1）可得兩直線解析式，可分別求得兩直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)法可畫出函數(shù)圖象；再結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)及函數(shù)圖象可得到相應(yīng)不等式中x滿足和條件；
（3）由題可求得A、B、C的坐標(biāo)，可表示出AB、BC、AC的長(zhǎng)，再分AB為對(duì)角線、AC為對(duì)角線和BC為對(duì)角線，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，分別根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，可得到關(guān)于D點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵直線l₁和l₂相交于點(diǎn)A（1，2），
∵2=1+m，2=n+3，
解得m=1，n=-1，
∴m的值為1，n的值為-1；
（2）由（1）y₁=x+1，y₂=-x+3，
∴l(xiāng)₁和l₂與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（-1，0）和C（3，0），
又A（1，2），
∴兩函數(shù)圖象如圖1所示，

由圖象可知當(dāng)直線l₁在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，函數(shù)值大于2，∴當(dāng)x＞1時(shí)，y₁＞2；
設(shè)直線l₂交y軸于點(diǎn)E，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴當(dāng)0≤x＜3時(shí)，0＜y₂≤3；
當(dāng)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，直線l₁在l₂的下方，
∴當(dāng)x＜1時(shí)，y₁＜y₂，
故答案為：x＞1；0≤x＜3；x＜1；
（3）由（2）可知B（-1，0），C（3，0），且A（1，2），
∴AB=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，BC=3-（-1）=4，
①當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，如圖2，過A作AD∥BC，連接BD，

∵四邊形ACBD為平行四邊形，
∴AD=BC=4，且AD∥BC，
∵A（1，2），
∴D（-3，2）；
②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，同①可得D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2）；
③當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，如圖3，連接AD，交BC于點(diǎn)F，連接BD、CD，

∵AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°，且AB=AC，
∴當(dāng)四邊形ABDC為平行四邊形時(shí)，四邊形ABDC為正方形，
∴AD⊥BC，且AF=DF，
∵A（1，2），
∴D（1，-2），
綜上可知D點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，2）或（5，2）或（1，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)圖象交點(diǎn)問題、函數(shù)與不等式、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想等．在（1）中掌握兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足每一個(gè)函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，在（3）中確定出D點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．