Question

10．我們知道平行四邊形有很多性質(zhì)，現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論．
【發(fā)現(xiàn)與證明】?ABCD中，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結(jié)B′D．
結(jié)論1：△AB′C與?ABCD重疊部分的圖形是等腰三角形；
結(jié)論2：B′D∥AC
…
【應(yīng)用與探究】
在?ABCD中，已知BC=2，∠B=45°，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結(jié)B′D．若以A、C、D、B′為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求AC的長．（要求畫出圖形）

Answer 1

分析 [發(fā)現(xiàn)與證明]由平行四邊形的性質(zhì)得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性質(zhì)得出∠ACB=∠ACB′，證出∠EAC=∠ACB′，得出AE=CE；得出DE=B′E，證出∠CB′D=∠B′DA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B′ED），由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；
[應(yīng)用與探究]：分兩種情況：①由正方形的性質(zhì)得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函數(shù)即可求出AC；
②由正方形的性質(zhì)和已知條件得出AC=BC=2．

解答 解：[發(fā)現(xiàn)與證明]：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵△ABC≌△AB′C，
∴∠ACB=∠ACB′，BC=B′C，
∴∠EAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
即△ACE是等腰三角形；
∴DE=B′E，
∴∠CB′D=∠B′DA=$\frac{1}{2}$（180°-∠B′ED），
∵∠AEC=∠B′ED，
∴∠ACB′=∠CB′D，
∴B′D∥AC；
[應(yīng)用與探究]：分兩種情況：①如圖1所示：
∵四邊形ACDB′是正方形，
∴∠CAB′=90°，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=45°，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{2}$；
②如圖2所示：AC=BC=2；
綜上所述：AC的長為$\sqrt{2}$或2．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、翻折變換、等腰三角形的判定以及平行線的判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．