Question

13．（1）如圖1，在線段AB上取一點(diǎn)C（BC＞AC），分別以AC、BC為邊在同一側(cè)作等邊ACD與等邊BCE，連結(jié)AE、BD，則ACE經(jīng)過(guò)怎樣的變換（平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)）能得到DCB？請(qǐng)寫(xiě)出具體的變換過(guò)程；（不必寫(xiě)理由）
（2）如圖2，在線段AB上取一點(diǎn)C（BC＞AC），如果以AC、BC為邊在同一側(cè)作正方形ACDG與正方形CBEF，連結(jié)EG，取EG的中點(diǎn)M，設(shè) DM的延長(zhǎng)線交EF于N，并且DG=NE；請(qǐng)?zhí)骄緿M與FM的關(guān)系，并加以證明；
（3）在圖2的基礎(chǔ)上，將正方形CBEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖3），使得A、C、E在同一條直線上，請(qǐng)你繼續(xù)探究線段MD、MF的關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）容易根據(jù)已知條件證明△ACE≌△DCE，所以△ACE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后能得到△DCB；
（2）相等且垂直．根據(jù)已知得到DG=NE，MG=ME，而根據(jù)已知NB∥GD，現(xiàn)在就可以證明△MGD≌△MEN，從而得到DM=NM，而∠DFN=90°，從而得到FM=$\frac{1}{2}$DN=DM，而NE=GD，GD=CD，可以推出NE=CD，∴FN=FD，可以得到FM⊥DM，所以DM與FM相等且垂直；
（3）相等且垂直．延長(zhǎng)DM交CE于N，連接DF、FN，先證△MGD≌△MNE，可以得到DM=NM，NE=DG，再根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可以得到DC=DG=NE，F(xiàn)C=FE，現(xiàn)在可以證明△DCF≌△NEF，然后利用全等三角形的性質(zhì)就可以證FM=DM，F(xiàn)M⊥DM．

解答 解：（1）將△ACE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后能得到△DCB；理由如下：
∵△ACD和△BCE是等邊三角形，
∴AC=CD，CE=CA，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}&{\;}\\{∠ACE=∠DCB}&{\;}\\{CE=CA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴將△ACE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后能得到△DCB；

（2）如圖，相等且垂直．理由如下：
∵EF∥GD，
∴∠NEM=∠DGM，
在△MGD和△MEN中，$\left\{\begin{array}{l}{GD=EN}&{\;}\\{∠NEM=∠DGM}&{\;}\\{EM=GM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MGD≌△MEN（SAS），
∴DM=NM，
在Rt△DNF中，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$DN=DM，
∵NE=GD，GD=CD，
∴NE=CD，
∴FN=FD，
即FM⊥DM，
∴DM與FM相等且垂直．

（3）MD與MF相等且垂直．理由如下：
延長(zhǎng)DM交CE于N，連接DF、FN，如圖所示：
根據(jù)（2）可以得到△MGD≌△MNE，
∴DM=NM，NE=DG，
∵∠DCF=∠FEN=45°，DC=DG=NE，F(xiàn)C=FE，
∴在△DCF和△NEF中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=NE}&{\;}\\{∠DCF=∠FEN}&{\;}\\{FC=FE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△NEF（SAS），
∴DF=FN，∠DFC=∠NFE，
∴∠DFN=90°，
即△FDN為等腰直角三角形，
∵DM=NM，即FM為斜邊DN的中線，
∴FM=DM=NM=$\frac{1}{2}$DN，且FM⊥DN，
則FM=DM，F(xiàn)M⊥DM．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．