Question

11．如圖，正方形ABCD中，E是BC中點，AE與BD相交于F，求證：CF⊥DE．

Answer 1

分析 如圖，利用正方形的性質(zhì)得BA=BC=CD，∠ABF=∠CBF=45°，則可根據(jù)“SAS”證明△ABF≌△CBF，得到∠1=∠2，再證明△ABE≌△DCE得到∠1=∠3，則∠2=∠3，由于∠2+∠4=90°，則∠3+∠4=90°，于是可判斷CF⊥DE．

解答 證明：如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=BC=CD，∠ABF=∠CBF=45°，
在△ABF和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABF=∠CBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBF，
∴∠1=∠2，
∵E點為BC的中點，
∴BE=CE，
在△ABE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠ABE=∠DCE}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
而∠2+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠DGC=90°，
∴CF⊥DE．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．