Question

3．已知平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過(guò)坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（$\sqrt{3}$，1）．
（1）求：a、b、c的值；
（2）將△OAB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后的三角形設(shè)為△OA′B′（點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，點(diǎn)B′對(duì)應(yīng)點(diǎn)B），試判斷點(diǎn)B′是否在拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上；
（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上的一點(diǎn)，且PA=PA′，寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（$\sqrt{3}$，1），可將其解析式寫(xiě)成y=a$（x-\sqrt{3}）^{2}$+1，代入原點(diǎn)，即可求出a的值，再展開(kāi)后即可得出b、c的值；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，再結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式找出PA、PA′的值，結(jié)合PA=PA′，即可得出關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，將其代入點(diǎn)P的坐標(biāo)中即可而得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（$\sqrt{3}$，1），
∴拋物線解析式可變形為y=a$（x-\sqrt{3}）^{2}$+1，
又∵拋物線過(guò)原點(diǎn)O（0，0），
∴0=a$（0-\sqrt{3}）^{2}$+1，
解得：a=-$\frac{1}{3}$．
∴y=-$\frac{1}{3}$$（x-\sqrt{3}）^{2}$+1=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∴a=-$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，c=0．
（2）令y=0，則-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=0，
解得：x₁=0，x₂=2$\sqrt{3}$．
△OAB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，即∠BOB′=120，則點(diǎn)B′在第三象限．
過(guò)點(diǎn)B′作B′E⊥x軸于點(diǎn)E，則∠B′OE=60°，
∵OB=OB′=2$\sqrt{3}$，
∴B′E=OB′•sin∠B′OE=3，OE=OB′•cos∠B′OE=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)B′（-$\sqrt{3}$，-3）．
把x=-$\sqrt{3}$代入拋物線的解析式，得：y=-$\frac{1}{3}$$（-\sqrt{3}-\sqrt{3}）^{2}$+1=-3，
∴點(diǎn)B′（-$\sqrt{3}$，-3）在拋物線上．
（3）∵A（$\sqrt{3}$，1），
∴tan∠AOB=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，OA=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴∠AOB=30°，
∵△OAB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，
∴點(diǎn)A′在y軸負(fù)半軸上，
∴A′（0，-2）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m），
則PA=$\sqrt{（m-\sqrt{3}）^{2}+（-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}m-1）^{2}}$，PA′=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}m+2）^{2}}$，
∵PA=PA′，
∴$\sqrt{（m-\sqrt{3}）^{2}+（-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}m-1）^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}m+2）^{2}}$，
整理，得：m²-3$\sqrt{3}$m=0，
解得：m₁=0，m₂=3$\sqrt{3}$，
經(jīng)檢驗(yàn)m₁=0，m₂=3均為方程的解，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）或（3$\sqrt{3}$，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式以及解無(wú)理方程，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；（3）找出關(guān)于m的方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．