Question

5．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF給出下列四個(gè)結(jié)論：
①AP=EF；②∠PFE=∠BAP；③△APD一定是等腰三角形；④AP⊥EF．
其中，正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．（多選不得分）

Answer 1

分析 證明△ANP≌△FPE，即可證得①④是正確的，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可判斷②正確；根據(jù)P的任意性可以判斷③不正確．

解答 解：延長FP交AB于點(diǎn)N，延長AP交EF于點(diǎn)M．
∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四邊形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF，
∴NP=EP，
∴AN=PF
在△ANP與△FPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{NP=EP}&{\;}\\{∠ANP=∠EPF}&{\;}\\{AN=PF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，
故①④正確；
△APN與△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM
∴∠PMF=∠ANP=90°
∴AP⊥EF，
故②正確；
P是BD上任意一點(diǎn)，因而△APD是等腰三角形不一定成立，
故③錯(cuò)誤；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．