Question

19．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC相交于點(diǎn)D，E，且BD=CD，過(guò)D作DF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若AD=5$\sqrt{3}$，∠CDF=30°，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由BD=CD，OB=OA，得到OD為三角形ABC的中位線，得到OD與AC平行，根據(jù)DF垂直于AC，得到DF垂直于OD，即可得證；
（2）由直角三角形兩銳角互余求出∠C的度數(shù)，利用兩直線平行同位角相等求出∠ODB的度數(shù)，再由OB=OD，利用等邊對(duì)等角求出∠B的度數(shù)，設(shè)BD=x，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出圓的半徑．

解答 解：（1）連接OD，
∵BD=CD，OB=OA，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
則DF為圓O的切線；
（2）∵DF⊥AC，∠CDF=30°，
∴∠C=60°，
∵OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=60°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB=60°，
∵AB為圓的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°，
設(shè)BD=x，則有AB=2x，
根據(jù)勾股定理得：x²+75=4x²，
解得：x=5，
∴AB=2x=10，
則圓的半徑為5．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定，圓周角定理，三角形中位線定理，勾股定理，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．