Question

12．某學(xué)校活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時，經(jīng)歷了如下過程：
操作發(fā)現(xiàn)：
（1）已知，△ABC，如圖1，分別以AB和AC為邊向△ABC外側(cè)作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD，請你完成作圖，并猜想BE與CD的數(shù)量關(guān)系是BE=CD．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）
類比探究：
（2）如圖2，分別以AB和AC為邊向△ABC外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE、BG，則線段CE、BG有什么關(guān)系？說明理由．
靈活運用：
（3）如圖3，已知△ABC中，∠ABC=45°，AB=2$\sqrt{2}$，BC=3，過點A作EA⊥AC，垂足為A，且滿足AC=AE，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，結(jié)論：BE=CD．只要證明△DAC≌△EAB即可；
（2）結(jié)論：CE=BG且EC⊥BG．在正方形ABDE和正方形ACFG中，設(shè)CE交BG于O，EC交AB于K．只要證明△ACE≌△AGB即可解決問題；
（3）以AB為腰向外作等腰直角三角形Rt△ABG，連接CG．首先求出CG，再證明△AGC≌△ABE，即可推出CG=BE；

解答 解：（1）作圖如下，

猜想：BE=CD．
理由：∵AB=AD．AC=AE，∠DAB=∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=AB}\\{∠DAC=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△EAB，
∴CD=BE．
故答案為BE=CD．

（2）結(jié)論：CE=BG且EC⊥BG．
理由：在正方形ABDE和正方形ACFG中，設(shè)CE交BG于O，EC交AB于K．

∵AE=AB，AC=AG，∠EAB=∠CAG=90°，
在△ACE和△AGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△AGB，
∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，
∵∠AKE=∠BKO，
∴∠BOK=∠EAK=90°，
∴EC⊥BG，EC=BG．

（3）以AB為腰向外作等腰直角三角形Rt△ABG，連接CG．

在Rt△ABG中，∵AB=AG=2$\sqrt{2}$
∴BG=$\sqrt{A{B}^{2}+A{G}^{2}}$=4，
∵∠GBA=∠ABC=45°，
∴∠GBC=90°，
∴CG=$\sqrt{B{G}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠EAC=90°，
∴∠GAC=∠EAB，
在△GAC和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AB}\\{∠GAC=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△ABE，
∴CG=BE，
∵CG=5，
∴BE=5．

點評 本題考查四邊形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考壓軸題．