Question

14．如圖所示，已知四邊形ABCD的面積為45，對角線AC、BD相交于點P，在四邊形的兩邊AB，CD上分別有點M，N，且MB=$\frac{1}{3}$AB，BP=$\frac{3}{5}$BD，NC=$\frac{2}{3}$DC，PC=$\frac{2}{3}$AC，求四邊形MBCN的面積．

Answer 1

分析 連接CM，MD，只需求出三角形BMC的面積與三角形CMN的面積即可．要求三角形BMC的面積，只需根據(jù)BM與AB之比求出三角形ABC的面積即可，而BP與BD之比也是知道的，從而根據(jù)共邊定理即可得出三角形ABC的面積；同理，要求三角形CMN的面積，只需求出三角形MCD的面積即可，從而只需求出三角形AMD的面積即可，進而只需求出三角形BAD的面積即可，而CP和AC的比例關系已知，由共邊定理易算三角形BAD的面積．

解答 解：連接CM、MD，如圖，

∵BP=$\frac{3}{5}$BD，
∴$\frac{BP}{PD}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}=\frac{BP}{PD}=\frac{3}{2}$，
∵S_△ABC+S_△ADC=S_{四邊形ABCD}=45，
∴S_△ABC=27，S_△ADC=18，
∵$PC=\frac{2}{3}AC$，
∴$\frac{PC}{PA}=\frac{2}{1}$，
∴$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△BAD}}=\frac{PC}{PA}=\frac{2}{1}$，
∴S_△BCD=30，S_△BAD=15，
∵MB=$\frac{1}{3}$AB，
∴${S}_{△AMD}=\frac{2}{3}{S}_{△BAD}=10$，${S}_{△BMC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}=9$，
∴S_△MCD=45-10-9=26，
∵NC=$\frac{2}{3}$DC，
∴${S}_{△CMN}=\frac{2}{3}{S}_{△MCD}=\frac{52}{3}$，
∴S_{四邊形MBCN}=S_△BMC+S_△CMN=$\frac{79}{3}$．

點評 本題主要考查了等積變換．找到線段之比與面積之比的相互關系是解決此類問題的關鍵．另外，熟練掌握一些面積定理，比如本題用到的共邊定理，更加有利于解決問題．