Question

5．如圖，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A、B、E在同一直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，則$\frac{CP}{CG}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 延長GP交CD于M，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得GF∥CD，∠BCD=120°，CD=CB，GB=GF，則利用平行線的性質(zhì)得∠PDM=∠PFG，于是可判斷△PDM≌△PFG，所以MD=GF，PM=PG，接著證明CM=CG，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)有CP⊥MG，CP平分∠MCG，所以∠PGC=30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．

解答 解：延長GP交CD于M，如圖，
∵四邊形ABCD和BEFG為菱形，點(diǎn)A、B、E在同一直線上，
∴GF∥CD，∠BCD=120°，CD=CB，GB=GF，
∴∠PDM=∠PFG，
在△PDM和△PFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDM=∠PFG}\\{PD=PF}\\{∠DPM=∠FPG}\end{array}\right.$，
∴△PDM≌△PFG，
∴MD=GF，PM=PG，
∴MD=GB，
∴CM=CG，
∵PM=PG，
∴CP⊥MG，CP平分∠MCG，
∴∠PCG=60°，
∴∠PGC=30°，
∴$\frac{CP}{CG}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．