Question

3．如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$的圖象在第一象限交于A、B兩點，B點的坐標為（3，2），連接OA、OB，過B作BD⊥y軸，垂足為D，交OA于C，若OC=CA．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，進而確定出點A的坐標，再用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；
（2）先求出OB的解析式，進而求出AG，用三角形的面積公式即可得出結論．

解答 解：（1）如圖，過點A作AF⊥x軸交BD于E，
∵點B（3，2）在反比例函數(shù)y=$\frac{a}{x}$的圖象上，
∴a=3×2=6，
∴反比例函數(shù)的表達式為y=$\frac{6}{x}$，
∵B（3，2），
∴EF=2，
∵BD⊥y軸，OC=CA，
∴AE=EF=$\frac{1}{2}$AF，
∴AF=4，
∴點A的縱坐標為4，
∵點A在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$圖象上，
∴A（$\frac{3}{2}$，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=2}\\{\frac{3}{2}k+b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的表達式為y=-$\frac{4}{3}$x+6；
（2）如圖1，過點A作AF⊥x軸于F交OB于G，
∵B（3，2），
∴直線OB的解析式為y=$\frac{2}{3}$x，
∴G（$\frac{3}{2}$，1），
A（$\frac{3}{2}$，4），
∴AG=4-1=3，
∴S_△AOB=S_△AOG+S_△ABG=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$．

點評 此題主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，三角形的中位線，解本題的關鍵是用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．