Question

閱讀下面材料：小騰遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的長(zhǎng)．
小騰發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，通過構(gòu)造△ACE，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決（如圖 2）．
請(qǐng)回答：∠ACE的度數(shù)為

 

，AC的長(zhǎng)為

 

．
參考小騰思考問題的方法，解決問題：
如圖 3，在四邊形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC與BD交于點(diǎn)E，AE=2，BE=2ED，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,解直角三角形

專題：閱讀型

分析：根據(jù)相似的三角形的判定與性質(zhì)，可得

AB

DF

=

AE

EF

=

BE

DE

=2，根據(jù)等腰三角形的判定，可得AE=AC，根據(jù)正切函數(shù)，可得DF的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得AB與DF的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案．

解答：解：∠ACE=75°，AC的長(zhǎng)為3．
過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．
∵∠BAC=90°=∠DFA，
∴AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE，
∴

AB

DF

=

AE

EF

=

BE

DE

=2，
∴EF=1，AB=2DF．
在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=75°，AC=AD．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，
∴DF=AFtan30°=

3

，AD=2DF=2

3

．
∴AC=AD=2

3

，AB=2DF=2

3

．
∴BC=

AB2+AC2

=2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．